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是为你好,老师,矩阵交换性能的价值是怎么一样呢?为了证明A和B是n阶方阵,我们证明AB和BA具有相同的特征值,AB和BA

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是为你好,老师,矩阵交换性能的价值是怎么一样呢?为了证明A和B是n阶方阵,我们证明AB和BA具有相同的特征值,AB和BA具有相同的轨迹。
2015年11月9日
是为你好,老师,矩阵交换性能的价值是怎么一样呢?为了证明A和B是n阶方阵,我们证明AB和BA具有相同的特征值,AB和BA具有相同的轨迹。
质量响应
如果λ是AB的特征值,则必须证明λ也是BA的特征值。
有两种情况:(1)λ≠0。
由于λ是AB的特征值,因此存在非零向量x,使得ABx =λx。
因此,BA(Bx)= B(ABx)= B(λx)=λBx,并且Bx≠0(否则λx= ABx = 0,λ= 0,矛盾)。
这表明Bx是对应于特征值λ的BA的特征向量,特别地,λ也是BA的特征值。
(2)λ= 0。
此时,由于存在非零矢量x使得ABx =λx= 0,因此已知AB不是全范围,并且det(AB)= 0。
因此,det(BA)= det(AB)= 0,并且BA不是全范围,因此存在非零矢量x,因此BAx = 0 =λx。
这表明λ= 0也是BA的特征值。
AB和BA可以直接乘以相同的跟踪验证
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